MySql tem um operador especial de verificação de igualdade null-safe:
mysql> SELECT 1 <=> 1, NULL <=> NULL, 1 <=> NULL;
-> 1, 1, 0
mysql> SELECT 1 = 1, NULL = NULL, 1 = NULL;
-> 1, NULL, NULL
Você pode usar este operador com o operador NOT:
mysql> SELECT NOT (1 <=> 1), NOT (NULL <=> NULL), NOT (1 <=> NULL);
-> 0, 0, 1
Então, no seu caso, você deve escrever:
IF NOT (OLD.assignedto <=> NEW.assignedto)