Finalmente eu descobri como usar o driver MySQL JDBC com o Scriptler:
- Descubra os diretórios de caminho de classe JAVA padrão (executados no Jenkins Script Console):
println System.getProperty("java.ext.dirs")
- Faça o download de um add mysql-connector-java-*.jar para o classpath Java padrão:
cp mysql-connector-java-*.jar /usr/java/packages/lib/ext/
- Reiniciar Jenkins
Os trabalhos do Jenkins e os scripts Scriptler/Groovy agora devem funcionar sem nenhum parâmetro adicional, como CLASSPATH.