Como um construtor de classe filho interagirá com um construtor de classe pai em php?

Se o construtor da classe filha não fizer outras coisas, você poderá omitir o construtor.

Apenas o abaixo está ok:

class CheckOut extends DB_MySQL{
}

Mas se o construtor da classe filha precisar fazer algum outro trabalho, sim, você precisa fazer:

class CheckOut extends DB_MySQL{

    public function __construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname) 
    {
        parent::__construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);
        do_some_other_work();
    }
}

Quando você usa, ambos precisam chamar:

$checkout = new CheckOut($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);