Como posso inserir dados no banco de dados MySQL?

Você deve simplesmente executar o comando

....
MySqlCommand command = connection.CreateCommand();
command.CommandText = "INSERT INTO tb_mitarbeiter (Vorname) VALUES ('tom')";
connection.Open();
command.ExecuteNonQuery();
....

Suponho que mitarbeiter é o valor real que deve ser definido no banco de dados.
Se este for o caso lembre-se de usar parâmetros para inserir/atualizar seus dados

MySqlCommand command = connection.CreateCommand();
command.CommandText = "INSERT INTO tb_mitarbeiter (Vorname) VALUES (?name)";
command.Parameters.AddWithValue("?name", mitarbeiter);
connection.Open();
command.ExecuteNonQuery();