Eu não acho que você pode instalar o MYSQL no telefone. Você precisa se conectar ao servidor/banco de dados remoto conforme informado por @Fahad Alkami acima.

Você precisa usar o sqlite que está pré-instalado no telefone Android e pode usar ORMs facilmente, como greenDAO , açúcar , etc. Você também pode usar realm , se você quiser usar algo diferente de sqlite.