O formato de campo DATE padrão do MySQL é:YYYY-MM-DD
Enquanto em Java, o formato padrão da classe Date (disponível no pacote java.util) é,dow mon dd hh:mm:ss zzz yyyy
então use isso:
Date date = txtToday.getText();
String pattern = "yyyy-MM-dd";
SimpleDateFormat formatter = new SimpleDateFormat(pattern);
String mysqlDateString = formatter.format(date);
System.out.println("Java's Default Date Format: " + date);
System.out.println("Mysql's Default Date Format: " + mysqlDateString);