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Como seleciono pares exclusivos de linhas de uma tabela aleatoriamente?

select a.id, b.id
from people1 a
inner join people1 b on a.id < b.id
where not exists (
    select *
    from pairs1 c
    where c.person_a_id = a.id
      and c.person_b_id = b.id)
order by a.id * rand()
limit 1;

Limit 1 retorna apenas um par se você estiver "tirando lotes" um de cada vez. Caso contrário, aumente o limite para quantos pares você precisar.

A consulta acima assume que você pode obter
1 - 2
2 - 7

e que o emparelhamento 2 - 7 é válido, pois não existe, mesmo que 2 seja apresentado novamente. Se você deseja que apenas uma pessoa apareça em only one par de sempre, então
select a.id, b.id
from people1 a
inner join people1 b on a.id < b.id
where not exists (
    select *
    from pairs1 c
    where c.person_a_id in (a.id, b.id))
  and not exists (
    select *
    from pairs1 c
    where c.person_b_id in (a.id, b.id))
order by a.id * rand()
limit 1;

Se multiple pairs devem ser gerados em uma única consulta, E a tabela de destino ainda está vazia, você pode usar essa única consulta. Observe que LIMIT 6 retorna apenas 3 pares.
select min(a) a, min(b) b
from
(
    select
      case when mod(@p,2) = 1 then id end a,
      case when mod(@p,2) = 0 then id end b,
      @p:[email protected]+1 grp
    from (
        select id
        from (select @p:=1) p, people1
        order by rand()
        limit 6
    ) x
) y
group by floor(grp/2)