Infelizmente, não é possível definir o default_timezone no RDS DB ParameterGroups, então sua tentativa já foi na direção certa.
$ rds-describe-db-parameters default | grep "time_zone"
DBPARAMETER default_time_zone engine-default string static false
Para definir o valor global via SET GLOBAL, você precisa ter o privilégio SUPER, que não é concedido a você como usuário do RDS.
A única maneira de definir o time_zone é por conexão
mysql> SET time_zone = timezone;
Em minhas máquinas eu tentei US/Eastern com sucesso, mas tenho uma geração bastante antiga em execução.
Para determinar os fusos horários disponíveis, entre na sua caixa
mysql -h yourboxhost.rds.amazonaws.com -u <youruser> -p
e digite
mysql> SELECT * FROM mysql.time_zone_name;
Você deve obter uma lista de nomes de fuso horário instalados e válidos que você pode definir em sua instância
+----------------------------------------+--------------+
| Name | Time_zone_id |
+----------------------------------------+--------------+
| Africa/Abidjan | 1 |
| Africa/Accra | 2 |
| Africa/Addis_Ababa | 3 |
| Africa/Algiers | 4 |
| Africa/Asmara | 5 |
| Africa/Asmera | 6 |
| Africa/Bamako | 7 |
| Africa/Bangui | 8 |
| Africa/Banjul | 9 |
| Africa/Bissau | 10 |
| Africa/Blantyre | 11 |
| Africa/Brazzaville | 12 |
| Africa/Bujumbura | 13 |
| Africa/Cairo | 14 |
etc...
Você precisa definir o time_zone toda vez que se conectar ao seu servidor de banco de dados
Por exemplo, se você usar a extensão php Mysqli, você pode fazer isso
$mysqli = mysqli_init();
mysqli_options($mysqli,MYSQLI_INIT_COMMAND,"SET time_zone = 'Africa/Brazzaville'" );
mysqli_real_connect($mysqli,$host, $user, $pass,$dbName) or die ('Unable to connect');
Caso contrário, apenas manualmente (em termos de deixar seu conector de banco de dados fazer isso) execute o
SET time_zone = '<YOUR_DESIRED_TIMEZONE>' Consulta logo depois de se conectar ao seu banco de dados 
