Isso é algo que eu tenho me interessado recentemente também.

Aqui está um ótimo artigo que deve responder à sua pergunta:

https://firebase.googleblog .com/2013/03/where-does-firebase-fit-in-your-app.html

"Padrão 2:aplicativo baseado no Firebase com código do servidor" provavelmente pode fornecer uma solução para conectar o Firebase ao seu banco de dados MySQL.

O que você pode fazer é fazer com que seu aplicativo PHP envie atualizações para seu banco de dados do Firebase sempre que algo digno de atualização acontecer em seu banco de dados MySQL. Se todos os seus clientes estiverem assinando/observando as alterações no banco de dados do Firebase, você conectou (embora indiretamente) o banco de dados MySQL ao banco de dados do Firebase.

Espero que isto ajude.