Atualizando a coluna para que ela contenha a posição da linha

Isso deve funcionar

update 
content,
(
  select 
  @row_number:=ifnull(@row_number, 0)+1 as new_position,
  ContentID 
  from content
  where CategoryID=1
  order by position
) as table_position
set position=table_position.new_position
where table_position.ContentID=content.ContentID;

Mas eu preferiria aplicar isso primeiro, para desarmar a variável definida pelo usuário

set @row_number:=0;

Adicionado por Mchl:

Você pode fazer isso em uma declaração como esta

update 
content,
(
  select 
  @row_number:=ifnull(@row_number, 0)+1 as new_position,
  ContentID 
  from content
  where CategoryID=1
  order by position
) as table_position,
(
  select @row_number:=0
) as rowNumberInit
set position=table_position.new_position
where table_position.ContentID=content.ContentID;