Usar:
SELECT *
FROM OBJECTS o
JOIN OBJECTSTAGS ot ON ot.object_id = o.id
JOIN TAGS t ON t.id = ot.tag_id
WHERE t.name IN ('tag1','tag2')
GROUP BY o.id
HAVING COUNT(DISTINCT t.name) = 2
Você estava perdendo a cláusula HAVING.
Não há necessidade de LEFT JOIN se você quiser apenas linhas onde existam ambas as tags.