Em primeiro lugar, o Heroku usa nativamente o postgres. A vida será mais fácil para você se você usar isso localmente.

Você pode importar/exportar arquivos dump postgres do heroku conforme descrito aqui:https:/ /devcenter.heroku.com/articles/heroku-postgres-import-export

Se você realmente quer usar o mysql, você tem dois caminhos a seguir.

1) Execute o mysql localmente, mas converta para postgres ao migrar para o Heroku usando a gem mysql2psql, conforme descrito aqui:https://devcenter.heroku.com/articles/heroku-mysql

2) Use um addon mysql como https://addons.heroku.com/cleardb

No entanto, minha recomendação seria usar o postgres de ponta a ponta, pois ele é incorporado ao Heroku, e você estará trabalhando com as formas padrão de usar o Heroku, não contra eles.

Postgres também é muito bom!