Como seleciono entre o 1º dia do mês atual e o dia atual no MySQL?

select * from table_name 
where (date between  DATE_ADD(LAST_DAY(DATE_SUB(CURDATE(), interval 30 day), interval 1 day) AND CURDATE() )

select * from table_name 
where (date between  DATE_FORMAT(NOW() ,'%Y-%m-01') AND NOW() )