Como passar dados de uma atividade para uma classe Java

De acordo com o seu comentário, por que você simplesmente não cria DatabaseHelper uma variável de instância e parametrize seu showResults método da seguinte forma:

public class MyActivity extends Activity {

    private DatabaseHelper myDatabaseHelper;

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        //initialise your helper here
        myDatabaseHelper = ...
    }

    public void onClickListenerButton(){

        // All your other stuff here...

        // variable that  I want to pass
        String avgStdLivingText = selectedAvgStdsRb.getText().toString();
        myDatabaseHelper.showResults(avgStdLivingText);
    }

}

E então dentro da classe auxiliar você pode simplesmente fazer:

public Cursor showResults(String selectedAvgStds){
        SQLiteDatabase db = this.getWritableDatabase();

        Cursor results = db.rawQuery("select * from "+TEMP_TABLE+"where value = " + selectedAvgStds , null);
        return results;
     }
}