Se você precisa ou não colocar um jar no diretório lib do Tomcat depende se o Tomcat precisa saber sobre isso ou não. E isso depende de como você está configurando as coisas.

Como regra geral, se você estiver mencionando uma classe em um arquivo de configuração do Tomcat, essa classe (e aquelas das quais ela depende) devem estar no diretório lib do Tomcat.

Por exemplo, se você configurar seu DataSource nos arquivos de configuração do Tomcat, precisará disponibilizar sua classe de driver para o Tomcat. Se, em vez disso, você configurar seu DataSource no código do seu aplicativo, não o fará.

Você não especifica como está configurando o C3P0, então não podemos dizer onde o jar precisa estar. Claro, se o Tomcat precisar dele e não estiver lá, você deve esperar ver uma exceção registrada e as coisas não funcionarão corretamente.