PostgreSQL Upsert com uma cláusula WHERE

Você precisa de um índice parcial. Solte a restrição uniqe na coluna name e crie um índice parcial na coluna:

CREATE TABLE customers (
    customer_id serial PRIMARY KEY,
    name VARCHAR,
    email VARCHAR NOT NULL,
    active bool NOT NULL DEFAULT TRUE
);

CREATE UNIQUE INDEX ON customers (name) WHERE active;

INSERT INTO customers (NAME, email) VALUES
 ('IBM', '[email protected]'),
 ('Microsoft', '[email protected]'),
 ('Intel','[email protected]');

A consulta deve ficar assim:

INSERT INTO customers (name, email)
VALUES
    ('Microsoft', '[email protected]') 
ON CONFLICT (name) WHERE active
DO UPDATE SET email = excluded.email;

SELECT *
FROM customers;

 customer_id |   name    |         email         | active 
-------------+-----------+-----------------------+--------
           1 | IBM       | [email protected]       | t
           3 | Intel     | [email protected]     | t
           2 | Microsoft | [email protected] | t
(3 rows)

Observe o uso adequado do registro especial excluded. De acordo com a documentação: