A resposta é simples - Travis não iniciará seu servidor para você, se você não especificar isso nas etapas de scripts. Veja meu repositório (é um pouco complicado, mas ei, ele faz testes).

Você pode adicionar require de express.js em express.test.js e iniciar o servidor a partir daí. Depois que todos os testes forem concluídos, não se esqueça de derrubá-lo.