Você pode usar a seguinte agregação:
db.col.aggregate([
{
$addFields: {
weightedIds: {
$map:
{
input: "$weighted",
as: "w",
in: "$$w.phaseId"
}
}
}
},
{
$project: {
_id: 1,
weighted: 1,
phases: {
$filter: {
input: "$phases",
as: "phase",
cond: { $gte: [ { $indexOfArray: [ "$weightedIds" , "$$phase._id" ] }, 0 ] }
}
}
}
}
])
Estamos usando
$map para pegar apenas phaseId campo de weighted e então podemos filtrar phases usando $filter
verificando para cada fase se o id correspondente existe (usando $indexOfArray
que retorna -1 caso contrário) 
