Parte do caminho, mas você precisa obter os valores "distintos" para "holiday_type" primeiro, então você
$group novamente:db.transactions.aggregate([
{ "$group": {
"_id": {
"employee" : "$employee",
"Month": { "$month" : "$date" },
"Year": { "$year" : "$date" },
"holiday_type" : "$holiday_type"
},
}},
{ "$group": {
"_id": {
"employee" : "$_id.employee",
"Month": "$_id.Month",
"Year": "$_id.Year"
},
"count": { "$sum": 1 }
}}
], { "allowDiskUse": true }
);
Esse é o processo geral, pois "distinto" no SQL é uma espécie de operação de agrupamento em si. Portanto, é um
$group duplo operação para obter o resultado correto. 
