Consulta agregada do MongoDB usando driver PHP

O parâmetro no seu Javascript é um array de 4 objetos com um elemento cada, no seu PHP é um array associativo (objeto) com 4 elementos. Isso representaria seu Javascript:

$result = $c->aggregate(array(
    array(
      '$project' => array(
          'day' => array('$dayOfYear' => '$executed')
      ),
    ),
    array(
      '$group' => array(
          '_id' => array('day' => '$day'),
          'n' => array('$sum' => 1)
      ),
    ),
    array(
      '$sort' => array(
          '_id' => 1
      ),
    ),
    array(
      '$limit' => 14
    )
));

Além disso, se você tiver pelo menos PHP5.4, poderá usar uma sintaxe de array mais simples. A transformação para PHP é então trivial, você simplesmente substitui chaves por colchetes e dois pontos por setas:

$result = $c->aggregate([
  [ '$project' => [ 'day' => ['$dayOfYear' => '$executed']  ]  ],
  [ '$group' => ['_id' => ['day' => '$day'], 'n' => ['$sum' => 1]  ] ],
  [ '$sort' => ['_id' => 1] ],
  [ '$limit' => 14 ]
]);