Não vejo como você está vinculando essas linhas que foram inseridas/atualizadas no
Inserted pseudo tabela para as linhas em seus Projects tabela. Deve haver algo como inserted.ID = projects.ID
ou algo assim no
WHERE cláusula:UPDATE p
SET
p.date_complete = GETDATE()
FROM
dbo.Projects p
INNER JOIN
inserted i ON inserted.id = projects.id
WHERE
i.status = 'Completed'
AND p.date_complete = '1900-01-01'
