Por que você não entra no FruitName para obter uma tabela com FruitIds antigos e novos? Considerando que as informações seriam adicionadas ao mesmo tempo... pode não ser a melhor opção, mas você não usará nenhum ciclo.
INSERT INTO BASKET(BASKETNAME)
VALUES ('COPY BASKET')
DECLARE @iBasketId int
SET @iBasketId = @@SCOPE_IDENTITY;
insert into Fruit (BasketId, FruitName)
select @iBasketId, FruitName
from Fruit
where BasketId = @originalBasket
declare @tabFruit table (originalFruitId int, newFruitId int)
insert into @tabFruit (originalFruitId, newFruitId)
select o.FruitId, n.FruitId
from (SELECT FruitId, FruitName from Fruit where BasketId = @originalBasket) as o
join (SELECT FruitId, FruitName from Fruit where BasketId = @newBasket) as n
on o.FruitName = n.FruitName
insert into Property (FruitId, PropertyText)
select NewFruitId, PropertyText
from Fruit f join @tabFruit t on t.originalFruitId = f.FruitId
