Você pode tentar atualizar seu código para usar um valor parametrizado que lide com aspas em uma string:
$query = "INSERT INTO People(name) VALUES(@name)"
$command = $connection.CreateCommand()
$command.CommandText = $query
$command.Parameters.Add("@name", $name) -- | Out-Null (may be required on the end)
$command.ExecuteNonQuery()
Não tenho experiência com powershell, mas fiz referência a esta postagem para um consulta parametrizada :
