O erro
Notice: Undefined offset
está basicamente dizendo que você tentou referenciar um valor de uma matriz que não existe.
Revendo seu código, há duas instâncias possíveis em que isso pode acontecer, primeiro
$_POST['checkbox'] e segundo $checked[$i] . Você pode resolver este erro por algo assim
if (isset ($_POST['submit']))
{
$checked = isset($_POST['checkbox']) ? $_POST['checkbox'] : null;
if (is_array($checked))
{
foreach ($checked as $check)
{
$result = mysql_query("UPDATE trace SET status='Delivered' WHERE id='$check'") or die(mysql_error());
}
}
}
Observe que o código acima não deve ser usado em produção, pois não é seguro.
Observe também que
mysql_ funções estão obsoletas. Use PDO ou mysqli para consultas de banco de dados. 
