Como anexar uma string serializada que já existe no banco de dados

Você tem que ler a coluna da linha da sua tabela. Desserialize-o em uma variável PHP e adicione uma nova ocorrência a ela.

Em seguida, serialize o novo array e armazene-o de volta em seu banco de dados

// SELECT from table
$s = 'a:7:{i:0;i:1;i:1;i:2;i:2;i:3;i:3;i:4;i:4;i:5;i:5;i:6;i:6;i:7;}';

$d = unserialize($s);

print_r($d);

$d[] = 99;
print_r($d);

$s2 = serialize($d);
echo $s2;

// UPDATE table row

RESULTADOS

Array
(
    [0] => 1
    [1] => 2
    [2] => 3
    [3] => 4
    [4] => 5
    [5] => 6
    [6] => 7
)
Array
(
    [0] => 1
    [1] => 2
    [2] => 3
    [3] => 4
    [4] => 5
    [5] => 6
    [6] => 7
    [7] => 99
)
a:8:{i:0;i:1;i:1;i:2;i:2;i:3;i:3;i:4;i:4;i:5;i:5;i:6;i:6;i:7;i:7;i:99;}