Reordenando os dados da coluna no mysql

Se o número de alterações for muito pequeno, você pode gerar uma instrução UPDATE desajeitada, mas bastante eficiente, se souber os ids dos itens envolvidos:

UPDATE categories
JOIN (
    SELECT 2 as categoryID, 3 as new_order
    UNION ALL
    SELECT 3 as categoryID, 4 as new_order
    UNION ALL
    SELECT 4 as categoryID, 2 as new_order) orders
USING (categoryId)
SET `order` = new_order;

ou (que eu gosto menos):

UPDATE categories
SET `order` = ELT (FIND_IN_SET (categoryID, '2,3,4'),
                   3, 4, 2)
WHERE categoryID in (2,3,4);

UPD :

Supondo que você conheça o id atual da categoria (ou seu nome), sua posição antiga e sua nova posição, você pode usar a seguinte consulta para mover uma categoria para baixo na lista (para subir você terá que alterar o between condição e new_rank computação para rank+1 ):

SET @id:=2, @cur_rank:=2, @new_rank:=4;

UPDATE t1
JOIN (
  SELECT categoryID, (rank - 1) as new_rank
  FROM t1
  WHERE rank between @cur_rank + 1 AND @new_rank
  UNION ALL
  SELECT @id as categoryID, @new_rank as new_rank
) as r
USING (categoryID)
SET rank = new_rank;