Como obter os dados usando>=AND <=em um formato de 12 horas em php/mysql?

Supondo que você use o DATETIME -format como tipo de dados em seu banco de dados, isso deve ajudá-lo:

$start =  date("h:i:s", strtotime($this->input->post('start')));
$end =  date("h:i:s", strtotime($this->input->post('end')));
...
$sql = "SELECT materialID FROM schedule WHERE date_reserve = ? AND TIME(start_time) >= ? AND TIME(end_time) <= ?";

Editar: Então, se você usar TIME-format você só precisa alterar o formato dos valores que está inserindo:

$start =  date("h:i:s", strtotime($this->input->post('start')));
$end =  date("h:i:s", strtotime($this->input->post('end')));