Estive procurando por este código, mas não consegui encontrar uma consulta limpa/simples (que também funciona com anos bissextos (problema de 29 de fevereiro))
Então eu fiz o meu.
Aqui está o código mais simples para obter os próximos aniversários para os próximos x dias (esta consulta também exibe os aniversários de ontem (ou você pode alterá-lo para um número x de dias no passado)
SELECT name, date_of_birty FROM users WHERE
DATE(CONCAT(YEAR(CURDATE()), RIGHT(date_of_birty, 6)))
BETWEEN
DATE_SUB(CURDATE(), INTERVAL 1 DAY)
AND
DATE_ADD(CURDATE(), INTERVAL 5 DAY)
