MYSQL seleciona 2 linhas aleatórias de cada categoria

Basta buscar 2 por categoria como você descreveu e um aleatório no final. Não é uma consulta, mas um conjunto de resultados, que pode ser o que você precisa:

SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 1 ORDER BY rand() limit 0,2) as t1
UNION
SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 2 ORDER BY rand() limit 0,2) as t2
UNION 
SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 3 ORDER BY rand() limit 0,2) as t3
UNION
...

(O Select aninhado permite que você classifique por rand() por categoria)Nada de especial até agora - 2 perguntas aleatórias por categoria.

A parte complicada agora é adicionar o 15º elemento SEM selecionando qualquer um daqueles que você já tem.

Para conseguir isso com "uma" chamada, você pode fazer o seguinte:

Faça o subconjunto de 14 perguntas que você selecionou como acima.
Unir isso com um conjunto não categorizado de coisas classificadas aleatoriamente do banco de dados. (limite 0,15)
Selecione todos deste resultado, limite 0,15.
SE os primeiros 14 elementos da subconsulta LAST já estiverem selecionados - eles serão removidos devido a UNION , e um 15º elemento independente é garantido.
Se a consulta interna final também selecionar 15 perguntas distintas, o limite externo 0,15 levará apenas a primeira delas para o resultado.

Algo como:

SELECT * FROM (
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 1 ORDER BY rand() limit 0,2) as t1
    UNION
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 2 ORDER BY rand() limit 0,2) as t2
    UNION 
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 3 ORDER BY rand() limit 0,2) as t3
    UNION
    ...
    UNION
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions ORDER BY rand() LIMIT 0,15) as t8
) AS tx LIMIT 0,15

Isso é um pouco feio, mas deve fazer exatamente o que você precisa:2 perguntas aleatórias de CADA categoria e, finalmente, uma pergunta aleatória que NÃO foi selecionada já de QUALQUER categoria. Um total de 15 perguntas a qualquer momento.

(Sidenode:Você também pode executar uma segunda consulta, usando NOT IN () para não permitir perguntas já selecionadas após determinar as 14 perguntas para as 7 categorias.)

Edit:Infelizmente o SQL Fiddle não está funcionando no momento. Aqui está algum código de violino:

CREATE TABLE questions (id int(10), category int(10), question varchar(20));

INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(1,1,"Q1");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(2,1,"Q2");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(3,1,"Q3");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(4,2,"Q4");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(5,2,"Q5");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(6,2,"Q6");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(7,3,"Q7");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(8,3,"Q8");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(9,3,"Q9");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(10,4,"Q10");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(11,4,"Q11");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(12,4,"Q12");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(13,5,"Q13");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(14,5,"Q14");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(15,5,"Q15");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(16,6,"Q16");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(17,6,"Q17");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(18,6,"Q18");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(19,7,"Q19");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(20,7,"Q20");
INSERT INTO questions (id, category, question)VALUES(21,7,"Q21");

Consulta

SELECT * FROM (
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 1 ORDER BY rand() limit 0,2) as t1
    UNION 
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 2 ORDER BY rand() limit 0,2) as t2
    UNION 
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 3 ORDER BY rand() limit 0,2) as t3
    UNION 
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 4 ORDER BY rand() limit 0,2) as t4
    UNION 
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 5 ORDER BY rand() limit 0,2) as t5
    UNION 
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 6 ORDER BY rand() limit 0,2) as t6
    UNION 
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions WHERE category= 7 ORDER BY rand() limit 0,2) as t7
    UNION 
    SELECT * FROM (SELECT * FROM questions ORDER BY rand() LIMIT 0,15) as t8
) AS tx LIMIT 0,15

os dados de exemplo contêm 3 perguntas por tipo, levando ao resultado que a 15ª pergunta (última linha) é SEMPRE a que resta de uma categoria.