Há algo estranho em sua cláusula where.
Se você testar:(A E B) OU (A OU B)
A => a.establishment_name LIKE '".$search_value."'
B => a.location_id = '".$location_search_value."'
SE A é verdadeiro, então não há necessidade de que b seja verdadeiro. E isso explica que seu terceiro exemplo não está funcionando. Acho que você deve testar seu valor e criar a cláusula WHERE correta com base em sua explicação.
if($search_value != "" && $location_search_value == "") {
$where = "a.establishment_name LIKE '".$search_value."'";
} else if ($search_value == "" && $location_search_value != "") {
$where = "a.location_id = '".$location_search_value."'";
} else {
$where = "(a.establishment_name LIKE '".$search_value."' AND a.location_id = '".$location_search_value."')";
}
$query = "SELECT a.*, b.location_name ".
"FROM establishment a ".
"JOIN location b ON a.location_id = b.location_id ".
"WHERE ".$where;