Você pode usar uma tabela derivada (subconsulta na cláusula FROM):
select mydate, UNIX_TIMESTAMP(mydate)
from
(
SELECT
DATE(CONVERT_TZ(FROM_UNIXTIME(my_time + timezone_offset * 60), @@session.time_zone, '+00:00')) as mydate,
FROM my_table
);
select mydate, UNIX_TIMESTAMP(mydate)
from
(
SELECT
DATE(CONVERT_TZ(FROM_UNIXTIME(my_time + timezone_offset * 60), @@session.time_zone, '+00:00')) as mydate,
FROM my_table
);
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