Vários conjuntos de resultados refere-se a uma única consulta ou lote de consultas que retorna vários conjuntos de linhas. Esses resultados são acessados ​​por meio do único DataReader para essa conexão.

O que você está pedindo é algo bem diferente. Você precisa da capacidade de realizar várias consultas simultâneas de uma única conexão. Afaik .NET não suporta isso, nem para SQL Server ou qualquer outro driver.

Compartilhar uma conexão entre vários threads é uma má ideia e totalmente desnecessária. O .NET usará um pool de conexões para limitar o número total de conexões, portanto, é perfeitamente seguro obter uma nova conexão para cada (conjunto de) consultas que você deseja executar. Limite o escopo de uma conexão a um thread e seu problema desaparecerá.