Este é um problema de lacunas e ilhas. Você pode resolvê-lo com funções de janela (disponível apenas no MySQL 8.0):
select
person,
min(act_date) start_date,
max(act_date) end_date
from (
select
t.*,
sum(act_date <> lag_act_date + interval 15 minute)
over(partition by person order by act_date) grp
from (
select
t.*,
lag(act_date)
over(partition by person order by act_date) lag_act_date
from mytable t
) t
) t
group by person, grp
order by min(act_date)
A ideia é construir grupos de registros adjacentes usando uma soma cumulativa:toda vez que houver um intervalo que não seja de 15 minutos, a soma será incrementada.
