Se você subtrair o dia atual do mês da data e adicionar 1, você tem o início do mês atual. Você pode usar esta lógica:
where time between date_sub(curdate(), interval day(curdate()) - 1 day) and
date_sub(date_add(date_sub(curdate(), interval day(curdate()) - 1 day), interval 1 month), interval -1 day)
