Você consegue. No entanto, no exemplo que você fornece, não há conexão JOIN entre a tabela1 e a fonte dos valores para a atualização (tabela2 INNER JOIN tabela3), portanto os resultados serão um pouco imprevisíveis.
Sua consulta seria algo como (não sou especialista em MySQL):
UPDATE table1, table2, table3 SET table1.column1 = table2.column1
WHERE table2.column5 = table3.column6
mas o que eu penso você provavelmente quer (só estou supondo) é algo mais como:
UPDATE table1, table2, table3 SET table1.column1 = table2.column1
WHERE table1.somecolumn = table3.somecolumn AND table2.column5 = table3.column6
