excluir do banco de dados após o fechamento do navegador

Você pode usar o evento Javascript para capturar o fechamento do navegador e enviar uma solicitação ajax para algum script que excluirá os dados do carrinho:

ATUALIZADO

<script language="javascript">
function fnUnloadHandler() {
  xmlhttp=null; 
  if (window.XMLHttpRequest) 
     {// code for Firefox, Opera, IE7, etc. 
        xmlhttp=new XMLHttpRequest(); 
     } 
  else if (window.ActiveXObject) 
     {// code for IE6, IE5 
        xmlhttp=new ActiveXObject("Msxml2.XMLHTTP"); 
     } 

  if (xmlhttp!=null) 
     {  
        xmlhttp.open("GET","http://yourhost/del_cart_actionFile.php",true); 
        xmlhttp.send(null); 
     } 
     else 
     { 
        alert("Your browser does not support XMLHTTP."); 
     } 
}
</script>
<body onbeforeunload="fnUnloadHandler()">
</body>