Basta fazer o
UPDATE quando você SELECT isso ao mesmo tempo. Mude isso:
SELECT product_name, sku, qty
FROM supplier_dropship_items
WHERE supplier_id = '3' AND status = '2';
para isso:
UPDATE supplier_dropship_items as t,
(
SELECT id, product_name, sku, qty
FROM supplier_dropship_items
WHERE supplier_id = '3' AND status = '2'
) as temp
SET status = '1' WHERE temp.ID = t.ID;
Isso pressupõe que você tenha uma coluna de ID dentro de sua tabela, pois é assim que ela deve ser configurada e como seria a aparência de qualquer tabela normalizada.
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Aqui está um link para a documentação sobre esta sintaxe
Essencialmente, o que isso está fazendo é tentar atualizar a tabela que aqui estamos chamando de
t , você executa simultaneamente uma instrução select. Esta instrução select está retornando uma tabela de resultados que nós aliamos com o nome
temp . Agora imagine que o resultado da sua instrução select está dentro de
temp , enquanto toda a tabela que você está atualizando está dentro de t . Finalmente você atualiza o
status campo para 1 onde o ID 's (nesses dois conjuntos de resultados de alias) correspondem 
