As instâncias do RDS não têm um endereço IP estático anexado a elas, você sempre usa o endpoint para o host. Por exemplo:

database1.jlsdfjhgsdf.us-east-1.rds.amazonaws.com

Se você estiver se conectando à instância com um nome de usuário diferente da conta do banco de dados raiz, será necessário conceder privilégios ao usuário.

Verifique as configurações do grupo de segurança. Se você estiver se conectando de outra instância do EC2 na Amazon, precisará anexar esse grupo de segurança. Se você estiver tentando se conectar de fora da AWS, precisará colocar na lista de permissões o endereço IP do qual está acessando.