A execução de um banco de dados SQL não é uma boa opção para o Cloud Run.

Em primeiro lugar, o contrato entre o contêiner implantado e o Cloud Run é que o contêiner precisa executar um servidor HTTP na porta 8080. Não é assim que o MySQL funciona.

Em segundo lugar, o contêiner será limitado ao sistema de arquivos que foi incluído na imagem do contêiner. Essa mesma imagem será instanciada muitas vezes à medida que o serviço lida com a carga. Não haverá como persistir os dados gravados no MySQL. Você pode ter dados somente leitura armazenados nessa imagem que só mudam quando uma nova imagem é publicada, mas não é exatamente para isso que você esperaria usar um banco de dados relacional.

O Cloud Run é muito bom para operar serviços HTTP/web de maneira escalonável e sem servidor. Esses serviços da Web geralmente usam outras APIs e serviços implantados no Google Cloud ou serviços de terceiros. Não se destina realmente a oferecer serviços de banco de dados persistentes, escaláveis ​​e compatíveis com ACID - esse é um tipo totalmente diferente de espaço de problema.