Como testar se o driver JDBC está instalado corretamente e se o banco de dados pode ser conectado?

Apenas verifique se Class#forName() no driver JDBC não lança ClassNotFoundException .

try {
    Class.forName(driverClassName);
    // Success.
}
catch (ClassNotFoundException e) {
    // Fail.
}

Apenas verifique se DriverManager#getConnection() ou DataSource#getConnection() não lança SQLException .

try (Connection connection = DriverManager.getConnection(url, username, password)) {
    // Success.
}
catch (SQLException e) {
    // Fail.
}