Você está, como diz o comentário, usando funções obsoletas, mas para responder à sua pergunta, você deve declarar uma variável para manter o valor assim que recuperá-lo do banco de dados para que você possa usá-lo sempre que quiser.
<?php
$result = mysql_query("SELECT banner_headline FROM low_engagement WHERE thread_segment = 'a3'", $connection);
if(!$result) {
die("Database query failed: " . mysql_error());
}
$bannerHeadline = "";
while ($row = mysql_fetch_array($result)) {
$bannerHeadline = $row["banner_headline"];
}
echo $bannerHeadline; //use this wherever you want
?>
