Nova resposta
No começo, não entendi que você estava tentando fazer um total contínuo. Aqui está como isso ficaria:
SET @runningTotal = 0;
SELECT
e_date,
num_interactions,
@runningTotal := @runningTotal + totals.num_interactions AS runningTotal
FROM
(SELECT
DATE(eDate) AS e_date,
COUNT(*) AS num_interactions
FROM example AS e
GROUP BY DATE(e.Date)) totals
ORDER BY e_date;
Resposta original
Você pode estar recebendo duplicatas por causa de sua associação. Talvez e1 tenha mais de uma correspondência para algumas linhas, o que está inflando sua contagem. Ou isso ou a comparação em sua junção também está comparando os segundos, o que não é o que você espera.
De qualquer forma, em vez de cortar o campo datetime em dias e meses, apenas retire o tempo dele. Aqui está como você faz isso.
SELECT
DATE(e.Date) AS e_date,
count(e.ID) AS num_interactions
FROM example AS e
JOIN example e1 ON DATE(e1.Date) <= DATE(e.Date)
GROUP BY DATE(e.Date);
