Você deve tratá-lo como um array como este,
<input name="checkbox[]" type="checkbox" value="<?php echo $row['link_id']; ?>">
Somente então, você pode pegar sua contagem e fazer um loop para exclusão.
Você também precisa passar a conexão do banco de dados para a consulta.
$result = mysqli_query($dbc, $sql);
O seu não incluiu:
$result = mysqli_query($sql);
