MySQL SELECT apenas não valores nulos

Você deve usar IS NOT NULL . (Os operadores de comparação = e <> ambos dão UNKNOWN com NULL em ambos os lados da expressão.)

SELECT * 
FROM table 
WHERE YourColumn IS NOT NULL;

Apenas para completar, mencionarei que no MySQL você também pode negar o operador de igualdade seguro nulo mas isso não é SQL padrão.

SELECT *
FROM table 
WHERE NOT (YourColumn <=> NULL);

Editado para refletir comentários. Parece que sua tabela pode não estar na primeira forma normal, caso em que alterar a estrutura pode facilitar sua tarefa. Mas há outras maneiras de fazer isso...

SELECT val1 AS val
FROM  your_table
WHERE val1 IS NOT NULL
UNION ALL
SELECT val2 
FROM  your_table
WHERE val2 IS NOT NULL
/*And so on for all your columns*/

A desvantagem do acima é que ele verifica a tabela várias vezes uma vez para cada coluna. Isso pode ser evitado pelo abaixo, mas não testei isso no MySQL.

SELECT CASE idx
         WHEN 1 THEN val1
         WHEN 2 THEN val2
       END AS val
FROM   your_table
        /*CROSS JOIN*/
       JOIN (SELECT 1 AS idx
                   UNION ALL
                   SELECT 2) t
HAVING val IS NOT NULL  /*Can reference alias in Having in MySQL*/