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Melhor maneira do que várias instruções SELECT?


Você pode agrupar a maior parte do custo em uma única consulta principal em um CTE e reutilize o resultado várias vezes.
Isso retorna uma única linha com três colunas nomeado após cada type (conforme solicitado no comentário ):
WITH cte AS (
   SELECT cai.id, cai.activity_id, cas.key, cas.value
   FROM   common_activityinstance cai
   JOIN   common_activityinstance_settings s ON s.activityinstance_id = cai.id
   JOIN   common_activitysetting cas ON cas.id = s.id
   WHERE  cai.end_time::date = '2015-09-12'   -- problem?
   AND    cai.activity_type = 'QZ'
   AND   (cas.key = 'disable_student_nav' AND cas.value IN ('True', 'False') OR
          cas.key = 'pacing' AND cas.value IN ('student', 'teacher'))
   )
SELECT *
FROM  (
   SELECT count(*) AS spf
   FROM  (
      SELECT c.id
      FROM   cte c
      JOIN   quizzes_quiz q ON q.id = c.activity_id
      WHERE  q.name <> 'Exit Ticket Quiz'
      AND   (c.key, c.value) IN (('disable_student_nav', 'True')
                               , ('pacing', 'student'))
      GROUP  BY 1
      HAVING count(*) = 2
      ) sub
   ) spf
,  (
   SELECT count(key = 'disable_student_nav' AND value = 'False' OR NULL) AS spn
        , count(key = 'pacing' AND value = 'teacher' OR NULL) AS tp
   FROM   cte
   ) spn_tp;

Deve funcionar para o Postgres 9.3. No Postgres 9.4 você pode usar o novo agregado FILTER cláusula:
  count(*) FILTER (WHERE key = 'disable_student_nav' AND value = 'False') AS spn
, count(*) FILTER (WHERE key = 'pacing' AND value = 'teacher') AS tp

Detalhes para ambas as variantes de sintaxe:

A condição marcada como problem? pode ser um grande problema de desempenho, dependendo do tipo de dados de cai.end_time . Por um lado, não é sargable . E se for um timestamptz tipo, a expressão é difícil de indexar, porque o resultado depende da configuração de fuso horário atual da sessão - o que também pode levar a resultados diferentes quando executado em fusos horários diferentes.

Comparar:

Você só precisa nomear o fuso horário que deve definir sua data. Tomando meu fuso horário em Viena como exemplo:
WHERE  cai.end_time >= '2015-09-12 0:0'::timestamp AT TIME ZONE 'Europe/Vienna' 
AND    cai.end_time <  '2015-09-13 0:0'::timestamp AT TIME ZONE 'Europe/Vienna'

Você pode fornecer timestamptz simples valores também. Você poderia até mesmo:
WHERE  cai.end_time >= '2015-09-12'::date
AND    cai.end_time <  '2015-09-12'::date + 1

Mas a primeira variante não depende da configuração do fuso horário atual.
Explicação detalhada nos links acima.

Agora a consulta pode usar seu índice e deve ser muito mais rápida se houver muitos dias diferentes em sua tabela.