Tente adicionar tiques ao redor do campo de data em sua consulta. Desde que você tenha CERTEZA de que a entrada é o formato Y-m-d, provavelmente resolverá seu problema:
$date = date("Y-m-d", strtotime($_POST['date']));
$result = mysqli_query($link,"INSERT INTO visit_exclude_dates (date) VALUES ('{$date}')");
if(!$result) {
echo "Error: " . $link->error);
die();
}
$result->close();
$link->close();