Meteor Simple Schema - Quando a opção do modificador for verdadeira, o objeto de validação deve ter pelo menos um operador

Você esqueceu de adicionar new SimpleSchema lá no começo:

Schemas.UserGamesPart = new SimpleSchema({
  public: {
    type: [String],
    defaultValue: []
  },
  private: {
    type: [String],
    defaultValue: []
  }
});
Schemas.UserGames = new SimpleSchema({
  game1: {
    type: Schemas.UserGamesPart
  }
});

Também acho que seu uso dos esquemas aninhados está um pouco errado. Somente aninhar esquemas quando você precisar reutilizar um. Criando um esquema separado para UserGamesPart parece horrível. Tente isso em vez disso:

Schemas.UserGames = new SimpleSchema({
  game1: {
    type: Object
  }
  'game1.public': {
    type: [String],
    defaultValue: []
  },
  'game1.private': {
    type: [String],
    defaultValue: []
  }
});

Este é mais curto e mais fácil de ler.