Este é um problema de permissões, você está executando como usuário mongod (ou mongodb etc.) quando inicia via serviço e provavelmente está executando como root (confirme isso nos comentários acima) quando estiver usando sudo ou invocando como root. Você precisa corrigir as permissões para todos os arquivos nessa pasta e nunca iniciar o serviço como root.
Para corrigir os arquivos com base no que você postou, supondo que seu usuário relevante seja mongodb e o grupo seja mongodb, você faria o seguinte com sudo (ou como root) - substitua o usuário apropriado para o seu sistema:
chown -R mongodb:mongodb /var/lib/mongo
chown -R mongodb:mongodb /var/run/mongodb
chown mongodb:mongodb /var/log/mongo/mongod.log
Depois de corrigir as permissões nessas pastas, você poderá iniciar via serviço novamente. Nota:se você postar a saída de
ls -al /var/lib/mongo então eu posso lhe dar os comandos exatos que você precisa para executar 
