Você não precisa usar regex aqui, algo mais simples como isso deve funcionar:
db.posts.find({"headers.Date": new Date(2001, 06, 06) })
Isso deve funcionar se as datas que você salvou no banco de dados estiverem sem hora (apenas dia, mês, ano)
Agora, se você tiver datas salvas com new Date(), que também inclui os componentes de tempo, será necessário criar um intervalo de datas que inclua todos os momentos desse dia:
db.posts.find( //query for all moments/time of a specific date
{"headers.Date": {"$gte": new Date(2001, 6, 6), "$lt": new Date(2001, 6, 7)}})
Observação - A API para Data é Data (AAAA,MM,DD) e a contagem de 'mês' começa em '0' e a contagem para 'data' começa em '1'.
