Encontrei uma solução alternativa para esse problema - não é realmente uma solução, mas estou em TI, então está perto o suficiente.
Eu estava usando o Java 7u51.
Entrei no painel de controle -> Java -> Avançado
Em configurações de segurança avançada, selecionei:
Use SSL 2.0 ClientHello format
Use SSL 3.0
Use TLS 1.0
(esses são os tipos de conexões que o servidor aceitou)
Também entrei na guia de segurança e adicionei o site à lista de sites de exceção
Por fim, entrei na guia Java e cliquei em View. Em seguida, desmarquei o Java 1.7.0_51 dos meus JREs instalados.
Não estou totalmente claro sobre como/por que tudo isso funcionou ao desinstalar e desabilitar outras versões do java. Mas estou feliz por ter o site no ar e funcionando novamente.
Espero que isso ajude alguém no futuro.
